Álgebra
X? Y? Entenda os cálculos com letras
Carlos Alberto Campagner*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
Para representar os problemas da vida real em linguagem matemática, muitas vezes utilizamos letras que substituem incógnitas (os valores que você não conhece, e quer descobrir). É aí que entram os famosos x, y, etc. O ramo da matemática que utiliza símbolos (normalmente letras do nosso alfabeto latino e do grego) para a resolução de problemas é chamado álgebra.Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
As equações são a aplicação mais conhecida dessa área da matemática.
Por exemplo, a área de um retângulo de base b e altura c é dada pela fórmula:
A = b . c
Esse conjunto de letras nada mais é que a representação de "fatos da vida real" por meio de números: a representa a área, b e c representam os lados do retângulo.
Essa fórmula vale para qualquer retângulo cuja área se deseja calcular.
Letras substituem valores iguais
Como você resolveria o seguinte cálculo? |
"3 maçãs mais 7 maçãs"
Logicamente o resultado é "10 maçãs". Então:
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Agora suponha que x valha 17 maçãs. O resultado de nossa operação seria 170.
Problemas resolvidos pela álgebra
Vamos descobrir quanto medem os lados de um retângulo em que um lado é o dobro do outro e cujo perímetro é igual a 60. |
Como um lado foi chamado de x, o outro - que é o dobro - será 2x.
Nesse caso, o perímetro pode ser escrito como a soma dos 4 lados:
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Vimos, portanto, como utilizar letras para representar objetos e situações da vida real. no caso acima
a letra x representou o comprimento de um dos lados de um retângulo.
Análise combinatória
Como calcular probabilidades
Maria Ângela de Camargo*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
Para aprender como fazer cálculos de análise combinatória, útil para determinar probabilidades, veja um exercício resolvido:
Escrito há cerca de 3 mil anos, o "I - Ching" ou "Livro das Mutações" apresenta um conjunto de símbolos criados a partir de dois princípios (o masculino Yang, representado por uma linha inteira -, e o feminino Ying, representado por uma linha quebrada - - ).
Entre outras funções, esse conjunto de símbolos permitiria adivinhar o futuro, o que torna o livro muito popular ainda hoje em dia. A base do sistema é um conjunto de três símbolos montados com as linhas Ying e Yang, que se constróem do seguinte modo:
A essas figuras chamadas Pa-Kua (as Oito Mutações), atribuíam-se nomes, características, imagens, papéis numa estrutura familiar, além dos pontos cardeais, como se vê a seguir:
Combinando-se dois desses trigramas, obtém-se um hexagrama, figura de significado ainda mais amplo, que constitui a resposta do oráculo a uma pergunta de quem o consulta. Por exemplo:
Sem entrar nas questões de caráter filosófico ou oracular do I-Ching, podemos nos perguntar: quantos hexagramas é possível formar com cada dois trigramas?
Pensando de forma análoga, podemos considerar que se constrói um hexagrama escolhendo seis símbolos de um grupo de dois (linha inteira, linha quebrada). Assim, o total de símbolos será 26 = 64.
Usamos aqui um princípio multiplicativo que é a base da análise combinatória, um conjunto de procedimentos que sistematiza a contagem de agrupamentos.
Essa é a versão multiplicativa do princípio: para que ocorra o evento, todas as etapas devem ser cumpridas. Por exemplo: para se escolher um número de três algarismos, devemos escolher o algarismo das unidades e das dezenas e também das centenas - não se podem omitir quaisquer etapas. Se as etapas não forem sucessivas, mas alternativas, o princípio fica enunciado assim:
Um evento ocorre em n etapas, alternativas e independentes, de modo que a primeira etapa ocorre de k1 maneiras, a segunda etapa ocorre de k2 maneiras, ..., e a enésima etapa ocorre de k2. Então, o evento pode ocorrer de k12 + ... + Kn maneiras distintas.
Se, para o seu almoço, você pode escolher um lanche com ou sem maionese, então você pode escolher entre dois lanches!
Arranjos: são agrupamentos nos quais a ordem dos elementos é relevante. Três pessoas (A, B, C) que se inscrevem em um concurso que premia os dois primeiros lugares podem dar a esse concurso seis classificações distintas:
Observe que duas mesmas pessoas podem terminar o concurso de duas maneiras distintas.
O número de arranjos possíveis de p elementos tirados de um grupo de n elementos, com n
p pode ser escrito como:
Combinações: são agrupamentos em que a ordem dos elementos não é relevante. No exemplo anterior, se as pessoas A, B e C tivessem que se organizar para formar uma comissão de duas pessoas, só haveria três possibilidades : A e B, A e C, B e C. O número de combinações de p elementos tirados de um grupo de n elementos, com n p é:
As permutações são casos particulares de arranjos em que o número de elementos do agrupamento é igual ao número de elementos disponíveis:
A sistemática da análise combinatória não é novidade. Em toda a história do desenvolvimento matemático do homem aparecem registros de investigações nos cálculos de possíveis agrupamentos:
Na obra de Euclides (300 a.C.) há um método para se encontrar o valor de (1 + x)2;
Além da fórmula resolutiva para equações de 2o grau, Baskhara descreveu algumas situações práticas em que se permutam possibilidades - na poesia, na arquitetura e na medicina;
Trabalhos do início da Era Cristã relacionados à cabala analisam combinações e permutações entre números inteiros;
Astrônomos da Idade Média calculavam as possíveis conjunções entre dois, três, n planetas,
À época do Renascimento, a pressão das recentes descobertas e necessidades mercantis fizeram com que matemáticos europeus desenvolvessem a sistemática de combinatória na descrição de várias circunstâncias: as possibilidades de n pessoas se sentarem em torno de uma mesa, as combinações possíveis de fechaduras, os agrupamentos possíveis de objetos e, naturalmente, as chances nos jogos de azar.
Apesar de tantas outras motivações, foi o interesse pelos jogos de azar a grande motivação para o desenvolvimento da análise combinatória, nos trabalhos de Pascal e Fermat. Naturalmente, outros ramos da matemática usaram esse conhecimento e vieram a se desenvolver: a probabilidade, a teoria de grafos, os conjuntos e a criptologia. A chance de jogos como a MegaSena é um saber relacionado à análise combinatória.
Escrito há cerca de 3 mil anos, o "I - Ching" ou "Livro das Mutações" apresenta um conjunto de símbolos criados a partir de dois princípios (o masculino Yang, representado por uma linha inteira -, e o feminino Ying, representado por uma linha quebrada - - ).
Entre outras funções, esse conjunto de símbolos permitiria adivinhar o futuro, o que torna o livro muito popular ainda hoje em dia. A base do sistema é um conjunto de três símbolos montados com as linhas Ying e Yang, que se constróem do seguinte modo:
1o símbolo | 2o símbolo | 3o símbolo |
 | | |
A essas figuras chamadas Pa-Kua (as Oito Mutações), atribuíam-se nomes, características, imagens, papéis numa estrutura familiar, além dos pontos cardeais, como se vê a seguir:
Norte | Nordeste | Leste | Sudeste |
 |  |  |  |
Sul | Sudoeste | Oeste | Noroeste |
 |  |  |  |
Combinando-se dois desses trigramas, obtém-se um hexagrama, figura de significado ainda mais amplo, que constitui a resposta do oráculo a uma pergunta de quem o consulta. Por exemplo:
 |
Sem entrar nas questões de caráter filosófico ou oracular do I-Ching, podemos nos perguntar: quantos hexagramas é possível formar com cada dois trigramas?
1o trigrama | 2o trigrama | Total: 64 hexagramas |
8 possibilidades | 8 possibilidades |
Pensando de forma análoga, podemos considerar que se constrói um hexagrama escolhendo seis símbolos de um grupo de dois (linha inteira, linha quebrada). Assim, o total de símbolos será 26 = 64.
Usamos aqui um princípio multiplicativo que é a base da análise combinatória, um conjunto de procedimentos que sistematiza a contagem de agrupamentos.
O princípio fundamental da contagem
Um evento ocorre em n etapas, sucessivas e independentes, de modo que a primeira etapa ocorre de k1 maneiras, a segunda etapa ocorre de k2 maneiras, ..., e a enésima etapa ocorre de kn. Então, o evento pode ocorrer de k1, k2, ... .Kn maneiras distintas.Essa é a versão multiplicativa do princípio: para que ocorra o evento, todas as etapas devem ser cumpridas. Por exemplo: para se escolher um número de três algarismos, devemos escolher o algarismo das unidades e das dezenas e também das centenas - não se podem omitir quaisquer etapas. Se as etapas não forem sucessivas, mas alternativas, o princípio fica enunciado assim:
Um evento ocorre em n etapas, alternativas e independentes, de modo que a primeira etapa ocorre de k1 maneiras, a segunda etapa ocorre de k2 maneiras, ..., e a enésima etapa ocorre de k2. Então, o evento pode ocorrer de k12 + ... + Kn maneiras distintas.
Se, para o seu almoço, você pode escolher um lanche com ou sem maionese, então você pode escolher entre dois lanches!
Agrupamentos
De modo geral, pode-se resolver um grande número de situações de contagem usando os princípios fundamentais. No entanto, alguns conjuntos podem ser agrupados por critérios que facilitam a sua compreensão; compreender a que classe de agrupamento pertence a situação que estamos tratando pode facilitar muito a resolução.Arranjos: são agrupamentos nos quais a ordem dos elementos é relevante. Três pessoas (A, B, C) que se inscrevem em um concurso que premia os dois primeiros lugares podem dar a esse concurso seis classificações distintas:
1o lugar | 2o lugar |
A | B |
A | C |
B | A |
B | C |
C | A |
C | B |
Observe que duas mesmas pessoas podem terminar o concurso de duas maneiras distintas.
O número de arranjos possíveis de p elementos tirados de um grupo de n elementos, com n
p pode ser escrito como: |
Combinações: são agrupamentos em que a ordem dos elementos não é relevante. No exemplo anterior, se as pessoas A, B e C tivessem que se organizar para formar uma comissão de duas pessoas, só haveria três possibilidades : A e B, A e C, B e C. O número de combinações de p elementos tirados de um grupo de n elementos, com n
p é: |
As permutações são casos particulares de arranjos em que o número de elementos do agrupamento é igual ao número de elementos disponíveis:
 |
A sistemática da análise combinatória não é novidade. Em toda a história do desenvolvimento matemático do homem aparecem registros de investigações nos cálculos de possíveis agrupamentos:
Apesar de tantas outras motivações, foi o interesse pelos jogos de azar a grande motivação para o desenvolvimento da análise combinatória, nos trabalhos de Pascal e Fermat. Naturalmente, outros ramos da matemática usaram esse conhecimento e vieram a se desenvolver: a probabilidade, a teoria de grafos, os conjuntos e a criptologia. A chance de jogos como a MegaSena é um saber relacionado à análise combinatória.
Câmbio
Entenda a conversão de moedas
Carlos Alberto Campagner*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
Entenda como funcionam as operações de câmbio, isto é, trocas de moedas, feitas a cada vez que você viaja para fora do Brasil, ou quando compra algum produto importado em moeda estrangeira.
Veja a tabela abaixo:
Ela representa a cotação de 4 moedas estrangeiras em relação ao nosso real em um certo dia.
Analisando a tabela vemos que para comprar 1 dólar americano precisamos de 2,33 reais; para comprar 1 franco suíço de 1,77; para a libra esterlina (Grã Bretanha) de 4,04. Mas para se comprar 1 real precisa-se de 22,73 libras sírias e para 1 peso argentino 1,30 reais.
Mas é importante lembrar que o que faz uma moeda ser forte ou fraca em relação a uma outra não é a sua cotação pontual. A moeda é um espelho da economia de um país, então, a questão depende das condições econômicas que os países apresentam. O euro, quando foi criado, valia menos que o dólar. Agora vale cerca de 20% mais. Dessa maneira pode-se verificar que, ultimamente o dólar tem perdido força.
O mercado oficial é onde as empresas importadoras e exportadoras compram e vendem os dólares das suas transações com o exterior. Também as empresas multinacionais recorrem a este mercado quando querem mandar lucros para o a matriz ou quando recebem dinheiro vivo para investimentos.
O mercado de dólar turismo é usado tanto pelo turista que quer viajar para fora do Brasil como para o turista que vem ao Brasil e troca seus dólares por reais.
O mercado paralelo ou mercado negro é usado por contraventores que usam o caixa 2, que agora está sendo chamado eufemisticamente de "dinheiro não contabilizado", para mandar ou receber dinheiro vivo do exterior.
Caixa 2
Só por curiosidade, fique sabendo que toda empresa tinha sua contabilidade, sujeita à fiscalização, escriturada em um livro chamado "livro caixa". Para controlar tudo o que se queria esconder da fiscalização, e do pagamento de impostos, escriturava-se um segundo livro o "livro caixa 2".
Voltando aos mercados do dólar eles são independentes porque são três tipos de clientes e normalmente não há a interferência entre eles.
Oferta e procura
Às vezes "pesos pesados" atuam em um deles e afetam a lei da oferta e procura, por exemplo, quando o governo federal tem que pagar alguma parcela grande de empréstimos feitos em bancos do exterior, o Banco Central compra milhões ou até bilhões de dólares no mercado oficial afetando a cotação para cima.
A lei de oferta e procura diz que se muita gente que comprar um produto e ele não tem uma oferta abundante o preço sobe, e ao contrário se um produto tem muita abundância e poucos compradores o preço cai.
Veja a tabela abaixo:
Moeda | Cotação do câmbio |
Dólar americano | R$ 2,33 |
Franco suíço | R$ 1,77 |
Libra esterlina | R$ 4,04 |
Libra síria | R$ 0,044 |
Peso argentino | R$ 0,77 |
Ela representa a cotação de 4 moedas estrangeiras em relação ao nosso real em um certo dia.
Analisando a tabela vemos que para comprar 1 dólar americano precisamos de 2,33 reais; para comprar 1 franco suíço de 1,77; para a libra esterlina (Grã Bretanha) de 4,04. Mas para se comprar 1 real precisa-se de 22,73 libras sírias e para 1 peso argentino 1,30 reais.
Força e fraqueza
No dia em que essas cotações foram extraídas, o real estava mais forte do que a libra síria e do peso argentino e mais fraca do que o dólar, o franco e a libra esterlina.Mas é importante lembrar que o que faz uma moeda ser forte ou fraca em relação a uma outra não é a sua cotação pontual. A moeda é um espelho da economia de um país, então, a questão depende das condições econômicas que os países apresentam. O euro, quando foi criado, valia menos que o dólar. Agora vale cerca de 20% mais. Dessa maneira pode-se verificar que, ultimamente o dólar tem perdido força.
Dólar paralelo, oficial e turismo
Existem no Brasil três mercados de dólares, o paralelo, o oficial e o turismo. Teoricamente estes mercados são independentes entre si e regulados pelas leis de oferta e procura.O mercado oficial é onde as empresas importadoras e exportadoras compram e vendem os dólares das suas transações com o exterior. Também as empresas multinacionais recorrem a este mercado quando querem mandar lucros para o a matriz ou quando recebem dinheiro vivo para investimentos.
O mercado de dólar turismo é usado tanto pelo turista que quer viajar para fora do Brasil como para o turista que vem ao Brasil e troca seus dólares por reais.
O mercado paralelo ou mercado negro é usado por contraventores que usam o caixa 2, que agora está sendo chamado eufemisticamente de "dinheiro não contabilizado", para mandar ou receber dinheiro vivo do exterior.
Caixa 2
Só por curiosidade, fique sabendo que toda empresa tinha sua contabilidade, sujeita à fiscalização, escriturada em um livro chamado "livro caixa". Para controlar tudo o que se queria esconder da fiscalização, e do pagamento de impostos, escriturava-se um segundo livro o "livro caixa 2".
Voltando aos mercados do dólar eles são independentes porque são três tipos de clientes e normalmente não há a interferência entre eles.
Oferta e procura
Às vezes "pesos pesados" atuam em um deles e afetam a lei da oferta e procura, por exemplo, quando o governo federal tem que pagar alguma parcela grande de empréstimos feitos em bancos do exterior, o Banco Central compra milhões ou até bilhões de dólares no mercado oficial afetando a cotação para cima.
A lei de oferta e procura diz que se muita gente que comprar um produto e ele não tem uma oferta abundante o preço sobe, e ao contrário se um produto tem muita abundância e poucos compradores o preço cai.
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